Question

5．已知函数f（x）=2asin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$acos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$（a≠0）的最大值为2．
（1）求a的值；
（2）若0≤θ≤π，求使函数f（x）为偶函数的θ值；
（3）若a＞0，当θ=$\frac{π}{3}$时，试求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得a的值．
（2）若0≤θ≤π，根据函数f（x）=2asin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）为偶函数，可得θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由此求得θ 的值．
（3）若a＞0，当θ=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）=2asin（2x+$\frac{2π}{3}$），再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2asin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$acos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$
=asin（2x+θ）+$\sqrt{3}$acos（2x+θ）=2asin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）的最大值为2|a|=2，∴a=±1．
（2）若0≤θ≤π，函数f（x）=2asin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）为偶函数，则θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（3）若a＞0，当θ=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）=2asin（2x+$\frac{2π}{3}$），
令 2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2k+$\frac{3π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的奇偶性、单调性和最值，属于中档题．