题目内容
【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=acosc+ csinA.
(1)求角A的大小;
(2)当a=3时,求△ABC周长的取值范围.
【答案】
(1)解:由 及正弦定理得,
,
∵B=π﹣(A+C),
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵C∈(0,π),
∴sinC≠0,
∴
易知cosA≠0,
∴ ,
∵A∈(0,π)
∴ .
(2)解:由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,得9=b2+c2﹣bc
∵b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时,“=”成立,…(8分)
∴9=b2+c2﹣bc≥bc,即bc≤9,当且仅当b=c=3时,“=”成立,
又由9=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc,得(b+c)2=9+3bc≤36,
∴b+c≤6,
∵b+c>3,
∴6<a+b+c≤9
∴求△ABC周长的取值范围(6,9].
【解析】(1)由已知及正弦定理,三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用,可得 ,
又sinC≠0,可求 ,结合范围A∈(0,π),即可求得A的值.(2)由余弦定理得9=b2+c2﹣bc,利用基本不等式可求bc≤9,又由9=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc,得b+c≤6,又b+c>3,可得范围6<a+b+c≤9.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:
;
;
才能正确解答此题.
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