Question

17．求值：$\root{3}{1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$+$\root{3}{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$．

Answer 1

分析 设x=$\root{3}{1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$+$\root{3}{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$．两边立方化简整理可得x³=2-x，变形解出即可．

解答 解：设x=$\root{3}{1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$+$\root{3}{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$．
则x³=1+$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}$+$3\root{3}{（1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}）^{2}}$$•\root{3}{1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}$+$3\root{3}{（1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}）（1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}）^{2}}$+1-$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}$，
化为x³=2+$3\root{3}{（1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}）（1-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}）}$x，即x³=2-x，
变形为：（x-1）（x²+x+2）=0，
解得x=1．
∴原式=1．

点评 本题考查了立方和公式、平方差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．