Question

已知函数f（x）=sin²x-4acosx，x∈[0，

π

2

]
（1）当a=1时，求函数的最小值；
（2）若f（x）的最小值为-

3

2

时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，令t=cosx，由于x∈[0，

π

2

]，可得 t∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，利用函数的单调性
求得g（t）的最小值．
（2）由于函数g（t）=-t²-4at+1的对称轴为t=-2a，t∈[0，1]，区间的中点为

1

2

，分-2a≤

1

2

以及-2a＞

1

2

两种情况，
分别根据最小值为-

3

2

，求得 a的值．

解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=sin²x-4cosx=1-cos²x-4cosx=-（cosx+2）²+5，
令t=cosx，由于x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]．
故有f（x）=g（t）=-（t+2）²+5，由于g（t）在[0，1]上是减函数，故g（t）的最小值为g（1）=-4．
（2）由于函数g（t）=-t²-4at+1的对称轴为t=-2a，t∈[0，1]，区间的中点为

1

2

，
当-2a≤

1

2

 时，函数g（t）=-t²-4at+1的最小值为 g（1）=-4a=-

3

2

，解得 a=

3

8

．
当-2a＞

1

2

时，函数g（t）=-t²-4at+1的最小值为 g（0）=1≠-

3

2

，不满足条件．
综上可得，a=

3

8

．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．