Question

（2007•长宁区一模）已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(1，sin(x+

π

2

))，设f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的单调递增区间及最小正周期．
（2）若f(α)=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据向量的数量积的运算求出

a

•

b

整理得到f（x）解析式，再结合正弦函数的单调区间即可求出f（x）的单调递增区间；最后求其最小正周期；
（2）直接根据f(α)=

3

4

，即sinα+cosα=

3

4

两边平方并整理即可得到结论．

解答：解：（1）f(x)=sinx+sin(x+

π

2

)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)（4分）
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

(k∈Z)，
∴单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)（3分）
最小正周期为2π．                                          （2分）
（2）由sinα+cosα=

3

4

得(sinα+cosα)2=1+sin2α=

9

16

，
∴sin2α=-

7

16

．                                          （3分）

点评：本题是对向量知识和三角知识的综合考查．解决本题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．