Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：（x-1）²+y²=16与点A（-1，0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连接QM，QN，分别交直线x=t（t为常数，且t≠2）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线段的垂直平分线的性质和椭圆的定义即可得出；
（2）设M（x，y），则N（-x，-y），由Q（2，0），可分别表示出QM，QN的斜率，利用点斜式即可得到直线QM，QN的方程，进而即可得到点E，F的纵坐标，再利用点M，N在椭圆上，满足椭圆的方程即可得出．
解答：解：（1）连接RA，由题意得，|RA|=|RP|，|RP|+|RB|=4，
∴|RA|+|RB|=4＞|AB|=2，
由椭圆定义得，点R的轨迹方程是．
（2）设M（x，y），则N（-x，-y），QM，QN的斜率分别为k_QM，k_QN，
则，，
∴直线QM的方程为，直线QN的方程，
令x=t（t≠2），则，
又∵（x，y）在椭圆，∴，
∴，其中t为常数．
点评：熟练掌握线段的垂直平分线的性质和椭圆的定义及其性质、直线的斜率计算公式和点斜式等是解题的关键．