Question

13．若点P（2，4）为抛物线y²=2px上一点，则抛物线焦点坐标为（2，0）若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，则双物线的渐近线方程为y=$±\sqrt{2}x$．

Answer 1

分析 求出抛物线方程，即可求解抛物线的焦点坐标；利用焦点坐标相同，推出双曲线a、b关系，求出a，b即可得到双曲线的渐近线方程．

解答 解：点P（2，4）为抛物线y²=2px上一点，
可得：16=4p，解得p=4，
则抛物线焦点坐标为（2，0）．
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{4}^{2}}{{b}^{2}}=1\\{a}^{2}+{b}^{2}=4\end{array}\right.$，可得a²=12-8$\sqrt{2}$，b²=8$\sqrt{2}-8$，
$\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{8\sqrt{2}-8}{12-8\sqrt{2}}}$=$\sqrt{2}$．
双曲线的渐近线方程为：y=$±\sqrt{2}x$．
故答案为：（2，0）；y=$±\sqrt{2}x$．

点评 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．