Question

5．如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=1，求$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 以C为原点，在平面ABC内过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角的余弦值．

解答 解：以C为原点，在平面ABC内过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，CC₁=1，
∴C（0，0，0），A₁（$\sqrt{3}$，1，1），B（0，2，0），C₁（0，0，1），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，1$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，1），
设$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-2+1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{5}$．
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$与$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．