题目内容
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM
( )
A．和AC、MN都垂直
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．与AC、MN都不垂直
( )
A．和AC、MN都垂直
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．与AC、MN都不垂直
A
此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．
解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0）、D1（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．
∴
=（-a，-a，a），
=（0，a，a），
=（-2a，2a，0）．
∴?=0，?=0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．
故选A．
解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0）、D1（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．
∴
=（-a，-a，a），=（0，a，a），=（-2a，2a，0）．∴
?=0，?=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．
故选A．
练习册系列答案
相关题目
，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
的正方体
中，
为线段
上的点，且满足
.
时，求证：平面
平面
；
为何值，三棱锥
的体积
与
所成的角的余弦值.
，
，
两两互相垂直，点
，点
到
，点
是
倍，则点
中，平面
∥平面
，
平面
,
,
∥
，且
,
．
平面
∥平面
；
的体积．