题目内容
2．函数y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}$（x＞0）的最大值为2-$\sqrt{3}$．分析 利用换元法，结合函数的单调性，即可得出结论．
解答 解：设$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=t（t≥2），则x+$\frac{1}{x}$=t2-2，
∴y=t-$\sqrt{{t}^{2}-1}$=$\frac{1}{t+\sqrt{{t}^{2}-1}}$，在[2，+∞）上单调递减
∴t=2时，函数y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\sqrt{x+\frac{1}{x}+1}$（x＞0）的最大值为2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$．
点评 本题考查函数的最大值，考查函数的单调性，正确换元是关键．
练习册系列答案
相关题目