Question

12．在直角三角形ABC中，a＞b＞c且b²=ac，则$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得A=90°，B+C=90°，由正弦定理可得：sin⁴B=1-sin²B，从而解得sinB，由正弦定理可得：$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{sinB}$，即可得解．

解答 解：∵直角三角形ABC中，a＞b＞c，
∴A=90°，B+C=90°，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{sinB}$，
∵b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC=sinC=cosB，即：sin⁴B=1-sin²B，
∴解得：sin²B=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{sinB}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+2}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和直角三角形的性质，考查了计算能力，属于中档题．