题目内容

设二次函数满足条件:①;②函数的图像与直线相切.
(1)求函数的解析式;
(2)若不等式时恒成立,求实数的取值范围.

(1);(2)

解析试题分析:由的图象的对称轴方程是,于是有,依题意,方程组有且只有一解,利用即可求得,从而得函数的解析式;(2)利用指数函数的单调性质,知时恒成立,构造函数,由即可求得答案.
试题解析:(1)由①可知,二次函数图像对称轴方程是
又因为函数的图像与直线相切,所以方程组有且只有一解,即方程有两个相等的实根,
所以,函数的解析式是
(2)等价于
即不等式时恒成立,
问题等价于一次函数时恒成立,

解得:
故所求实数的取值范围是
考点:1、函数恒成立问题;2、二次函数的性质.

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