题目内容
已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值;
(2)设,其中,判断方程在区间 上的解的个数(其中为无理数,约等于且有).
(1)时,,时,,时,;(2)方程在区间上存在唯一解.
解析试题分析:(1)先求出并进行因式分解得到,然后分、、三类进行讨论函数在的单调性,从而确定函数的最小值;(2)设,进而通过求导,由确定函数在的单调性,进而判断两端点函数值是正数还是负数,最终确定函数零点的个数即方程在上的解的个数.
试题解析:(1)由,得或
①当时,,所以故在上是增函数,所以
②当时,时,;时,
所以,在上是减函数,在上是增函数,故
③当时,,所以在上是减函数,故.
综上所述:时,
时,
时,
(2)令
由,解得;或
由, 知
故当时,,则在上是增函数
又;
由已知得:,所以,所以
故函数在上有唯一的零点,即方程在区间<
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