Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

Answer 1

（1）,（2）100辆/千米,3333辆/千米

解析试题分析：（1）解实际问题，关键在于正确理解题意.本题为求函数关系式，是一个分段函数. 当车流密度不超过20辆/千米时，是一个常函数，当车流密度满足时，车流速度是车流密度的一次函数，这需要利用待定系数法求解，所以，（2）求分段函数最值，需先分段求最值，再比较大小得原函数最值. 当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时， 时，取得最大值，所以当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
试题解析：（1）
（2）依题意并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时， 时，在取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
考点：分段函数解析式及其最值