Question

若方程x²+y²+2ax-2ay=0表示圆，下列叙述中：
①关于直线x+y=0对称；
②其圆心在x轴上且过原点；
③其圆心在y轴上且过原点；
④半径为

2

|a|．
其中叙述正确的是

①④

．（填上所有正确的序号）

Answer 1

分析：将方程化成圆的标准方程，得（x+a）²+（y-a）²=2a²，所以圆心为C（-a，a），半径r满足r²=2a²＞0．再利用圆的性质，对各项分别加以分析判断，即可得到正确答案．

解答：解：∵方程x²+y²+2ax-2ay=0表示圆，
∴化成标准形式，得（x+a）²+（y-a）²=2a²，
此圆的圆心为C（-a，a），半径r满足r²=2a²＞0，
对于①，因为圆心C坐标为（-a，a），满足x+y=0
∴圆心C在直线x+y=0上，可得已知圆关于直线x+y=0对称，得①正确；
对于②，若圆心在x轴上则a=0，与方程表示圆矛盾，故②不正确；
对于③，若圆心在y轴上则a=0，与②同理得方程不能表示圆，故③不正确；
对于④，因为半径r满足r²=2a²＞0，所以r=

2

|a|，可得④正确
综上所述，①④正确而②③不正确
故答案为：①④

点评：本题给出含有字母参数的圆方程，判断几个命题的真假．着重考查了圆的标准程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．