题目内容
【题目】如图,四面体中,
是正三角形,
是直角三角形,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)过的平面交
于点
,若平面
把四面体
分成体积相等的两部分,求二面角
的大小。
【答案】(1)证明见解析;(2)。
【解析】
(1)如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.△ABC是等边三角形,可得OB⊥AC.由已知可得:△ABD≌△CBD,AD=CD.△ACD是直角三角形,可得AC是斜边,∠ADC=90°.可得DO=AC.利用DO2+BO2=AB2=BD2.可得OB⊥OD.利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明;
(2)由平面把四面体
分成体积相等的两部分,明确
为
中点, 易知二面角
的平面角为
.
(1)证明:如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.
∵△ABC是等边三角形,∴OB⊥AC.
△ABD与△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.
∵△ACD是直角三角形,
∴AC是斜边,∴∠ADC=90°.
∴DO=AC.
∴DO2+BO2=AB2=BD2.
∴∠BOD=90°.
∴OB⊥OD.
又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD.
又OB平面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)∵平面把四面体
分成体积相等的两部分,
∴,∴
.
∴即
为
中点,
由(1)知为直角三角形,则
又,
∴为等边三角形,故
。
由(1)知则AE=CE,
所以,
又,
则二面角的平面角为
,且二面角的大小为
。
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