题目内容
(本小题满分14分)
设函数,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.
设函数,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.
– a2
由条件得:f (x )=, 4分
∵a > 0,
∴ – (1 + a )< 0, f (x )在(–∞,a)上是减函数.
如果函数f (x )存在最小值,则f (x )在[a,+ ∞)上是增函数或常数.
∴1 – a ³ 0,
得a £ 1,
又a > 0, ∴0< a £ 1. 5分
反之,当0< a £ 1时,
(1 – a ) ³ 0, ∴f (x )在f[a,+ ∞)上是增函数或常数.
–(1 + a )< 0, ∴f (x )在(–∞,a)上是减函数.
∴f(x )存在最小值f(a).
综合上述f (x )存在最小值的充要条件是0< a £ 1,此时f (x)min =" –" a2 3分
∵a > 0,
∴ – (1 + a )< 0, f (x )在(–∞,a)上是减函数.
如果函数f (x )存在最小值,则f (x )在[a,+ ∞)上是增函数或常数.
∴1 – a ³ 0,
得a £ 1,
又a > 0, ∴0< a £ 1. 5分
反之,当0< a £ 1时,
(1 – a ) ³ 0, ∴f (x )在f[a,+ ∞)上是增函数或常数.
–(1 + a )< 0, ∴f (x )在(–∞,a)上是减函数.
∴f(x )存在最小值f(a).
综合上述f (x )存在最小值的充要条件是0< a £ 1,此时f (x)min =" –" a2 3分
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