题目内容
【题目】已知函数 .
(1)若 ,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若 在
处取得极小值,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)利用导函数可得切线的斜率为,然后由点斜式可得切线方程为
;
(2)首先对g(x)求导,然后分类讨论可得实数 的取值范围为
.
试题解析:
解:(1)当 时,
,所以直线
在点
处的切线方程为
.
(2)由已知得 ,则
,记
,则
.
①当 时,
,函数
单调递增,所以当
时,
,当
时,
,所以
在
处取得极小值,满足题意.
②当时,
,当
时,
,故函数
单调递增,可得当
时,
时,
,所以
在
处取得极小值,满足题意.
③当时,当
时,
,
在
内单调递增,
时,
在
内单调递减,所以当
时,
单调递减,不合题意.
④当时,即
,当
时,
单调递减,
,当
时,
单调递减,
,所以
在
处取得极大值,不合题意. 综上可知,实数
的取值范围为
.
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