题目内容
下列说法：
①函数y=log
(x2-2x-3)的单调增区间是（-∞，1）；
②若函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1），则它的图象关于y轴对称；
③函数f（x）=
（x∈R）的值域为（-1，1）；
④函数y=|3-x2|的图象和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值可能是0，2，3，4；
⑤若函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零点，则实数a的取值范围是[
，3]．
其中正确的序号是
①函数y=log
| 1 |
| 2 |
②若函数y=f（x）定义域为R且满足f（1-x）=f（x+1），则它的图象关于y轴对称；
③函数f（x）=
| x |
| 1+|x| |
④函数y=|3-x2|的图象和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值可能是0，2，3，4；
⑤若函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零点，则实数a的取值范围是[
| 5 |
其中正确的序号是
③④⑤
③④⑤
．分析：根据当x=0时，函数的解析式无意义可判断①；根据函数对称性，可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，可判断②；画出函数f（x）=
（x∈R）的图象，结合函数图象分析出函数的值域，可判断③；画出函数y=|3-x2|的图象，可分析出函数y=|3-x2|的图象和直线y=a（a∈R）的公共点个数，可判断④；根据二次函数的图象和性质分析出函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零点，实数a的取值范围，可判断⑤．
| x |
| 1+|x| |
解答：
解：当x=0时，x2-2x-3=-3，此时log
(x2-2x-3)无意义，故①错误；
若函数y=f（x）满足f（1-x）=f（x+1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故②错误；
画出函数f（x）=
（x∈R）的图象如图，由图可得函数的值域为（-1，1）；
画出函数y=|3-x2|的图象，由图可知，函数y=|3-x2|的图象和直线y=a公共点可能是0，2，3，4个，故④正确
若f（x）在x∈[1，3]上有零点，则f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=x+
在x∈[1，3]上有实数解
令g（x）=x+
则g（x）在[1，
]单调递减，在（
，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=
，∴2
≤g（x）≤6，即2
≤2a≤6，故
≤a≤3故⑤正确
故答案为：③④⑤
解：当x=0时，x2-2x-3=-3，此时log| 1 |
| 2 |
若函数y=f（x）满足f（1-x）=f（x+1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故②错误；
画出函数f（x）=
| x |
| 1+|x| |
画出函数y=|3-x2|的图象，由图可知，函数y=|3-x2|的图象和直线y=a公共点可能是0，2，3，4个，故④正确
若f（x）在x∈[1，3]上有零点，则f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=x+
| 5 |
| x |
令g（x）=x+
| 5 |
| x |
| 5 |
| 5 |
| 14 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
故答案为：③④⑤
点评：本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的对称性，函数的值域，函数图象的交点，函数的零点，是函数内容的综合应用，难度中档．
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