Question

11．已知等腰直角三角形ABC的腰长AC=1，底角A的角平分线交对边BC于点D，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=1-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先建立平面直角坐标系，表示出C，A，B的坐标，再根据底角A的角平分线交对边BC于点D，设∠DAB=∠θ，和二倍角公式求出tanθ=$\sqrt{2}$-1，继而求出D的坐标，根据向量的坐标运算即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=1-$\sqrt{2}$，

解答 解：以定点C为坐标原点，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，
则C（0，0），A（1，0），B（0，1），
∵底角A的角平分线交对边BC于点D，设∠DAB=∠θ，
∴θ=22.5°，
∵tan45=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=1，
∴tanθ=$\sqrt{2}$-1，
∴CD=ACtanθ=$\sqrt{2}$-1，
∴D（0，$\sqrt{2}$-1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，$\sqrt{2}$-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1），
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=1-$\sqrt{2}$，
故答案为：1-$\sqrt{2}$

点评 本题考查了向量的坐标运算和三角函数的化简和求值，本题的关键的建立平面直角坐标系，属于中档题．