题目内容
已知a,b为常数,a?0,函数.
(1)若a=2,b=1,求在(0,∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,
,且
在区间[1,2]上是增函数,求由所有点
形成的平面区域的面积.
【答案】
(1),(2)①详见解析,②
【解析】
试题分析:(1)求具体函数极值问题分三步,一是求导,二是求根,三是列表,关键在于正确求出导数,即;求根时需结合定义区间进行取舍,如根据定义区间
舍去负根;列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律,这样才可得出正确结论,因为导数为零的点不一定为极值点,极值点附近导数值必须要变号,(2)①利用导数证明函数单调性,首先要正确转化,如本题只需证到在区间[1,2]上
成立即可,由
得只需证到在区间[1,2]上
,因为对称轴
在区间[1,2]上单调增,因此只需证
,而这显然成立,②中条件“
在区间[1,2]上是增函数”与①不同,它是要求
在区间[1,2]上恒成立,结合二次函数图像可得关于
不等关系,再考虑
,
,可得可行域.
试题解析:(1)解: 2分
当时,
,
令得
或
(舍去) 4分
当
时,
是减函数,
当时,
是增函数
所以当时,
取得极小值为
6分
(2)令
① 证明: 二次函数
的图象开口向上,
对称轴且
8分
对一切
恒成立.
又对一切
恒成立.
函数图象是不间断的,
在区间
上是增函数. 10分
②解:
即
在区间
上是增函数
对
恒成立.
则对
恒成立.
12分
在(*)(**)的条件下, 且
且恒成立.
综上,点满足的线性约束条件是
14分
由所有点形成的平面区域为
(如图所示),
其中
则
即的面积为
. 16分
考点:求函数极值,二次函数恒成立,线性规划求面积.
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