Question

【题目】已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的面积的最大值；

（Ⅲ）设直线， 分别与轴交于点， .判断， 大小关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意求得 ，所以椭圆的方程为．

(2) 联立直线与椭圆的方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时， ．即的面积的最大值是．

(3)结论为．利用题意有．所以．

试题解析：

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．

因为椭圆的离心率是，

所以 ， 即 ．

由 解得

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）将代入，

消去整理得．

令，解得．

设．

则， ．

所以

．

点到直线的距离为．

所以的面积

，

当且仅当时， ．

所以的面积的最大值是．

（Ⅲ）．证明如下：

设直线， 的斜率分别是， ，

则．

由（Ⅱ）得

，

所以直线， 的倾斜角互补．

所以，

所以．

所以．