Question

4．设△ABC的面积S=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，角A，B，C所对的边为a，b，c且c=$\sqrt{2}$a．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC内一点P满足AP=AC，BP=CP，求∠PAC的大小．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式和余弦定理，即可即可求出A的大小，再根据正弦定理求出C的大小，
（2）首先确定P的位置，由（1）△ABC为等腰直角三角形，以A点为坐标原点，以斜边BC为x轴，建立如何所示的坐标系，作BC的垂直平分线，DE，交圆于点P，分别表示各点的坐标，求出直线DE的方程，联立圆的方程求出点P的坐标，再分别表示出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$，利用向量的数量积即可求出cos∠PAC，问题得以解决．

解答 解：（1）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA，b²+c²-a²=2bccosA，
∴S=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²）变形得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{4}$×2bccosA，
整理得：tanA=1，
又0＜A＜π，
则A=$\frac{π}{4}$，
∵c=$\sqrt{2}$a，
∴sinC=$\sqrt{2}$sinA=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
又0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{2}$，
（2）由（1）△ABC为等腰直角三角形，
以A点为坐标原点，以斜边BC为x轴，建立如何所示的坐标系，
作BC的垂直平分线，DE，交圆于点P，
∴PC=PB，AC=AP，
∴点P就是所求的点，
设半径为$\sqrt{2}$，则AB=2，
则圆的方程为x²+y²=2，①
∴A（0，0），C（1，1），B（2，0），
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵k_ED=K_AC=tan$\frac{π}{4}$=1，
∴直线ED的方程为y-$\frac{1}{2}$=x-$\frac{3}{2}$，即x-y-1=0，②
由①②构成方程组，则为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$（舍去），
∴点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，1），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$），|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$+$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PAC=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PAC=$\frac{π}{6}$

点评 本题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理、正弦定理化简求值，以及用解析几何的和向量的问题解决平面几何的问题，属于中档题．