Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，则数列{a_n}的前n项之和为11-$\frac{1}{3}$（2^5-n+2ⁿ）．

Answer 1

分析 由2（a_n+a_n+2）=5a_n+1．求可得2（a_n+2-2a_n+1）=a_n+1-2a_n，a_n+2-$\frac{1}{2}$a_n+1=2（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n），根据等比数列的定义判定出数列都是等比数列，运用等比数列的求和公式，计算即可得到所求值．

解答 解：∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴2a_n+2a_n+2=5a_n+1，
∴2（a_n+2-2a_n+1）=a_n+1-2a_n，
∴$\frac{{a}_{n+2}-2{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₂-2a₁=2-2×5=-8，
∴{a_n+1-2a_n}是以-8为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=-8×（$\frac{1}{2}$）^n-1①
∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴a_n+2-$\frac{1}{2}$a_n+1=2（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n）
∴$\frac{{a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}}$=2，
∴a₂-$\frac{1}{2}$a₁=2-$\frac{1}{2}$×5=-$\frac{1}{2}$，
∴{a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n}是以-$\frac{1}{2}$为首项，2为公比的等比数列；
∴a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=-$\frac{1}{2}$•2^n-1②，
由①②解得a_n=$\frac{2}{3}$（2^4-n-2^n-2），
验证a₁=5，a₂=2适合上式，
∴S_n=$\frac{2}{3}$（2³-2^-1）+$\frac{2}{3}$（2²-2⁰）+…+$\frac{2}{3}$（2^4-n-2^n-2）
=$\frac{2}{3}$（2³+2²+…+2^4-n）-$\frac{2}{3}$（2^-1+2⁰+…+2^n-2）
=$\frac{2}{3}$•[$\frac{8（1-{2}^{-n}）}{1-{2}^{-1}}$-$\frac{{2}^{-1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$]=11-$\frac{1}{3}$（2^5-n+2ⁿ）．
故答案为：11-$\frac{1}{3}$（2^5-n+2ⁿ）．

点评 本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握，属于中档题．