Question

13．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=cos（$\frac{π}{2}$+2x）cos（π+x）．
（2）f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$．
（3）f（x）=$\frac{{e}^{sinx}+{e}^{-sinx}}{{e}^{sinx}-{e}^{-sinx}}$．

Answer 1

分析 ①f（-x）=sin（-2x）•cos（-x）=-sin2x•cosx，因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；
②f（-x）=$\sqrt{1+sin（-x）}$+$\sqrt{1-sin（-x）}$=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$，因此，f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数；
③f（-x）=$\frac{{e}^{sin（-x）}+{e}^{-sin（-x）}}{{e}^{sin（-x）}-{e}^{-sin（-x）}}$=$\frac{{e}^{-sinx}+{e}^{sinx}}{{e}^{-sinx}-{e}^{sinx}}$，因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．

解答 解：直接根据函数奇偶性的定义，判断如下：
①∵f（x）=（-sin2x）•（-cosx）=sin2x•cosx，
∴f（-x）=sin（-2x）•cos（-x）=-sin2x•cosx，
因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；
②∵f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$．
∴f（-x）=$\sqrt{1+sin（-x）}$+$\sqrt{1-sin（-x）}$=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$，
因此，f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数；
③∵f（x）=$\frac{{e}^{sinx}+{e}^{-sinx}}{{e}^{sinx}-{e}^{-sinx}}$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{sin（-x）}+{e}^{-sin（-x）}}{{e}^{sin（-x）}-{e}^{-sin（-x）}}$=$\frac{{e}^{-sinx}+{e}^{sinx}}{{e}^{-sinx}-{e}^{sinx}}$，
因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断，涉及三角函数的诱导公式，属于中档题．