Question

19．袋中有大小相同的3个红球，2个白球、1个黑球，现从中依次取出一球，直至取出3种颜色的球即停止取球．
（1）如果有放回取球，求取球次数为4的概率；
（2）如果不放回取球，求取球次数ξ的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）“有放回取球，取球次为4”基本事件总数n=${6}^{{4}^{\;}}$，取出3种颜色的球包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}×3×2×2×3+{C}_{2}^{1}×3×3×3×2$，由此利用等可能事件概率计算公式能求出有放回取球，取球次数为4的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）“有放回取球，取球次为4”记为事件A，
则基本事件总数n=${6}^{{4}^{\;}}$=1296，
事件A包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}×3×2×2×3+{C}_{2}^{1}×3×3×3×2$=180，
∴有放回取球，取球次数为4的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{180}{1296}$=$\frac{5}{36}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为3，4，5，6，
P（ξ=3）=$\frac{3×2×1×{A}_{3}^{3}}{6×5×4}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}×3×2×1×3+{C}_{2}^{1}×3×2×3×2}{6×5×4×3}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}×4×3×2×1×2+{C}_{4}^{2}×3×2×2}{6×5×4×3×2}$=$\frac{7}{30}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{5}^{2}×3×2×1×2}{6×5×4×3×2×1}$=$\frac{1}{6}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{1}{6}$

Eξ=$3×\frac{3}{10}+4×\frac{3}{10}+5×\frac{7}{30}+6×\frac{1}{6}$=$\frac{64}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．