题目内容
已知函数.
(1)当时,求
的值域;
(2)当,
时,函数
的图象关于
对称,求函数
的对称轴;
(3)若图象上有一个最低点
,如果图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
倍,然后向左平移1个单位可得
的图象,又知
的所有正根从小到大依次为
,
,…
,…且
,求
的解析式.
(1)①当时,值域为:
; ② 当
时,值域为:
;(2)
;(3)
解析试题分析:(1)利用正弦函数的值域和不等式性质即可求出的值域,主要要分
与
0两种情况;(2)先由对称轴过最值点列出关于
的方程,求出
,然后将函数
利用设辅助角公式化为一个角的三角函数,再利用求对称轴的方法求出对称轴;(3)先由设辅助角公式将函数
化成一个角的三角函数,利用
过最低点
,求出辅助角并将
用
表示出来,即求出
的解析式,再根据题中的图像变换求出
的解析式,再根据题中已知条件
的所有正根从小到大依次为
,
,…
,…且
确定参数
,即可得到
的解析式.
试题解析:(1)当时,
①当时,值域为:
② 当
时,值域为:
(2)当,
时,
且图象关于
对称。
∴
∴函数
即:
∴
由
∴函数的对称轴为:
(3)由
(其中,
)
由图象上有一个最低点
,所以
∴ ∴
又图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,然后向左平移1个单位可得
的图象,则
又∵的所有正根从小到大依次为
,
,…
,…,且
所以与直线
的相邻交点间的距离相等,根据三角函数的图象与性质可得以下情况:
(1)直线要么过
的最高点或最低点.
即或
(矛盾),
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