题目内容
9.若存在实数θ,使得2x2-4xsinθ+3cosθ=0成立,则x的取值范围为[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,$\frac{3\sqrt{2}}{2}$].分析 由题意可得 sin(θ+α)=$\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$,故有 $\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$≤1,由此求得x的范围.
解答 解:由题意可得,存在实数θ,使4xsinθ-3cosθ=2x2 成立,
即$\sqrt{{16x}^{2}+9}$sin(θ+α)=2x2,即 sin(θ+α)=$\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$,(其中,cosα=$\frac{4x}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$,sinα=$\frac{-3}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$,0≤α<2π)
∴$\frac{{2x}^{2}}{\sqrt{{16x}^{2}+9}}$≤1,求得-$\frac{1}{2}$≤x2≤$\frac{9}{2}$,可得-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
故答案为:[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,$\frac{3\sqrt{2}}{2}$].
点评 本题主要考查辅助角公式、正弦函数的值域,属于基础题.
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