题目内容
【题目】已知
分别为椭圆C：
的左、右焦点，点
在椭圆上，且
轴，
的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）E,F是椭圆C上异于点
的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【答案】（Ⅰ）
． （Ⅱ）
．
【解析】
（Ⅰ）根据
轴可得焦点
的坐标；结合周长即可求得a的值，利用椭圆中a、b、c的关系求得椭圆的标准方程。
（Ⅱ）根据P点坐标，设出PE方程，联立直线与椭圆的方程，消y后得到关于x的一元二次方程，设出E、F坐标，利用韦达定理及直线
的斜率与
的斜率互为相反数的关系，求得直线
的斜率。
（Ⅰ）由题意，
，
，
的周长为6
，
椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）由(Ⅰ)知
，
设直线PE方程：
，联立
，消
得
设
，
点在椭圆上
，
又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以
代
，
， 
即直线的斜率为定值，其值为 ．
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