题目内容
【题目】已知,
.
(1)求函数的增区间;
(2)若函数有两个零点,求实数
的取值范围,并说明理由;
(3)设正实数,
满足
,当
时,求证:对任意的两个正实数
,
总有
.
(参考求导公式: )
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,对
进行分类讨论,可得函数
的增区间;
(2)由(1)知:若函数在
的上为增函数,函数
有至多有一个零点,不合题意.
若 可知
要使得函数有两个零点,则
以下证明函数
有两个零点即可
(3)证明:不妨设,以
为变量
令,
则
可以证明 ,所以
在
单调递增;因为
所以
这样就证明了
试题解析:(1)由已知,令
,
当时,
,函数的增区间
若
令
,
函数的增区间为
综合以上:当时,函数的增区间
;若
增区间为
(2)由(1)知:若函数在
的上为增函数,函数
有至多有一个零点,不合题意。
若 当
,
,函数在
的上为减函数
当
,函数在
的上为增函数
要使得函数有两个零点,则
下证明: 函数
有两个零点
而
,所以
在
存在惟一零点;
又
令
所以
在
上递增,
所以的
所以
在
也存在惟一零点;
综上: 函数
有两个零点
方法2:(先证: 有
)
而
,所以
在
也存在惟一零点;
综上: ,函数
有两个零点。
(3)证明:不妨设,以
为变量
令,
则
令,则
因为,所以
;即
在定义域内递增。
又因为且
所以
即
,所以
;又因为
,所以
所以在
单调递增;因为
所以
即
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目