题目内容
如图，在正三棱柱
ABC－A1B1C1中，
D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE．
(Ⅰ)证明平面ADE⊥平面ACC1A1
(Ⅱ)求直线AD和平面ABC所成角的正弦值．
答案：
解析：
解析：
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解： (Ⅰ)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1又 DE 平面A1B1C1，所以DE⊥AA1
而 DE⊥AE．AA1∩AE＝A所以DE⊥平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．
(Ⅱ)解法1：如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质及D是A1B1的中点知A1B1⊥C1D，A1B1⊥DF
又 C1D∩DF＝D，所以A1B1⊥平面C1DF，而 AB∥A1B1，所以AB⊥平面C1DF，又AB 平面ABC，故
平面 ABC1⊥平面C1DF．过点 D做DH垂直C1F于点H，则DH⊥平面ABC1．连接 AH，则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．由已知 AB＝ AA1，不妨设AA1＝，则AB＝2，DF＝，DC1＝ ，
C1F＝  ，AD＝ ＝，DH＝ ＝ － ，
所以 sin∠HAD＝ ＝ ．
即直线 AD和平面ABC1所成角的正弦值为．
解法 2：如图所示，设O使AC的中点，
以 O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝ ，则AB＝2，相关各点的坐标分别是
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练习册系列答案
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B、
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C、
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| D、1 |
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