Question

【题目】无穷数列 ，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质.集合.

（1）若，，判断数列是否具有性质；

（2）数列具有性质，且，求的值；

（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记 ，证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.

Answer 1

【答案】(1)具有；(2)2；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意可知是周期为2的周期数列，对于任意的正整数，，满足性质的条件，故数列具有性质.

（2）由条件可知，考虑后面连续三项，由反证法可知.同理可得.

（3）充分性：由数列是周期为的周期数列，每个周期均包含中个不同元素.则由周期性得，于是数列为常数列，显然满足性质.

必要性：取足够大的使包含中所有个互不相同的元素，考虑后的连续项，由反证法可知中任意元素，必等于中的某一个，再由数列性质中的条件得，，则数列为常数列，为常数列，据此可得数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数.

试题解析：

（1）因为，，是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故，是周期为2的周期数列，对于任意的正整数，，满足性质的条件，故数列具有性质.

（2）.由条件可知，考虑后面连续三项，若，

由及性质知中必有一数等于2，

于是中有两项为2，故必有1或3不在其中，

不妨设为，考虑中最后一个等于的项，

则该项的后三项均不等于，故不满足性质中条件，矛盾，

于是.同理.

（3）充分性：由数列是周期为的周期数列，每个周期均包含中个不同元素.

对于中的任意元素，为第个满足的项，

故由周期性得，

于是，数列为常数列，显然满足性质.

必要性：取足够大的使包含中所有个互不相同的元素，

考虑后的连续项，

对于中任意元素，必等于中的某一个，

否则考虑中最后一个等于的项，该项不满足性质中条件，矛盾.

由的任意性知这个元素恰好等于中个互不相同的元素，

再由数列性质中的条件得，，

于是对于中的任意元素，存在，有 ，

即数列为常数列，

而数列满足性质，故为常数列，

从而是周期数列，故数列是周期为的周期数列，

且每个周期均包含个不同实数.