Question

7．已知函数y=x²-2tx+1，若-1≤x≤1，求y的最大、最小值．

Answer 1

分析 二次函数y=f（x）=（x-t）²+1-t²，分当t≤-1时、当-1＜t≤0时、当0≤t＜1时、当t≥1时，四种情况分别求得函数的最值．

解答 解：∵二次函数y=f（x）=x²-2tx+1=（x-t）²+1-t²，-1≤x≤1，
∴当t≤-1时，函数y在[-1，1]上是增函数，最小值为f（-1）=2+2t，最大值为 f（1）=2-2t．
当-1＜t≤0时，函数y在[-1，1]上，函数的最小值为f（t）=1-t²，最大值为 f（1）=2-2t．
当0≤t＜1时，函数y在[-1，1]上，函数的最小值为f（t）=1-t²，最大值为 f（-1）=1+2t．
当t≥1时，函数y在[-1，1]上单调递减，函数的最小值为f（1）=1-2t，最大值为 f（-1）=2+2t．

点评 本题主要考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．