题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数,
).
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)若对于任意,存在
,使得
,求
的取值范围;
(3)若恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)对函数求导,求得
,
,由直线的点斜式方程可求得切线;
(2)对函数求导,得出函数
在
上单调性,可求得函数
在
上的最值,再根据对于任意
,存在
,使得
,则需
,
讨论a可求得a的范围;
(3) )因为,所以由
得
令
,则
,分析导函数的正负,得出原函数的单调性,从而得出最值,根据不等式恒成立的思想得出求得a的范围.
(1),
,
,又
,
所以切线方程为:,即
;
(2),
时,
,
在
上单调递增,
,
由于对于任意,存在
,使得
,则需
,
当时,
,不满足
,故
,
当时,
在
上单调递增,
,所以
,解得
;
当时,
在
上单调递减,所以
在
上没有最大值,所以
不满足,
综上可得,;
(3)因为,所以由
得
令
,则
,
令则
在
上单调递减,且
,所以存在唯一的零点
,使得
,
即有也即有
,
,即
,
所以,
,所以
在
上单调递增,在
上递减,所以
,
而,所以
,
所以.
所以的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(本题14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据:
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;并指出x,y 是否线性相关;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,
)
【题目】随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2018年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促销费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型与
的关系,请用相关系数
加以说明(系数精确到0.001);
(2)建立关于
的线性回归方程
(系数精确到0.001);如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件,预测至少需要投入费用多少万元(结果精确到0.01).
参考数据:,
,
,
,
,其中
,
分别为第
个月的促销费用和产品销量,
.
参考公式:(1)样本相关系数
;
(2)对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.