题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求
的最小值;
(2)当时,若存在
,使得对任意的
,都有
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
(1)求出,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据单调性;(2)存在
,使得对任意的
都有
恒成立,等价于
,分别利用导数研究函数的单调性,并求出
的最小值,解不等式即可得结果.
(1)因为的定义域为
,
.
①当时,因为
,
,所以
在
上为增函数,
;
②当时,
在
上为减函数,在
上为增函数,
;
③当时,
在
上为减函数,
.
(2)当时,若存在
,使得对任意的
都有
恒成立,
则.
由(1)知,当时,
.
因为,令
,则
,
令,得
;令
,得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
,所以
在
上单调递增.
所以,则
,
解得,又
,
,
所以,即实数
的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】一只药用昆虫的产卵数与一定范围内与温度
有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度 | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
(1)若用线性回归模型,求关于
的回归方程
=
x+
(精确到0.1);
(2)若用非线性回归模型求关
的回归方程为
且相关指数
( i )试与 (1)中的线性回归模型相比,用 说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn), 其回归直线=
x+
的斜率和截距的最小二乘估计为
,
,相关指数
.
。