Question

【题目】已知函数，.

（1）令，求函数的零点；

（2）令，求函数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析

【解析】

（1）函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解，再对a分类讨论，即得函数的零点；（2）令，可得，得，再对二次函数的对称轴分三种情况讨论得解.

（1）由，可知函数零点的个数，就是方程的解的个数，显然是方程的一个解；

当时,方程可化为，得，由函数单调递增，且值域为，有下列几种情况如下:

①当时，方程没有根，可得函数只有一个零点；

②当时，方程的根为，可得函数只有一个零点；

③当且时，方程的根为，由，可得函数有两个零点和；

由上知，当或时，函数的零点为；当且时，数的零点为和.

（2）令，可得，由， ，可得，二次函数的对称轴为，

①当时，即，此时函数的最小值为；

②当时，即，此时函数的最小值为；

③当，即，此时函数的最小值为.