Question

【题目】已知椭圆的离心率为，经过椭圆的右焦点的弦中最短弦长为2.

（1）求椭圆的的方程；

（2）已知椭圆的左顶点为为坐标原点，以为直径的圆上是否存在一条切线交椭圆于不同的两点，且直线与的斜率的乘积为？若存在，求切线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：第一问利用题中所给的椭圆的离心率，以及焦点弦中通径最短的结论，以及椭圆中三者之间的关系求得椭圆的方程；第二问先设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到系数之间的关系，与椭圆方程联立，根据题的条件，得到相应的等量关系式，最后求得结果即可.

详解：（1）由题意有：；

（2）设切线方程为，则有，

联立方程有：，

斜率乘积为，

代入有：，

所以，或，①时，；②时，；

③时，；④时，；

所以直线为.