Question

（2012•青岛二模）已知直线y=x+a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且

OA

•

OB

=0，其中O为坐标原点，则正实数a的值为

2

．

Answer 1

分析：由

OA

•

OB

=0，利用平面向量的数量积运算法则得到OA⊥OB，又OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB=

2

R，求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到正实数a的值．

解答：解：∵

OA

•

OB

=0，
∴OA⊥OB，又OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
又圆心坐标为（0，0），半径R=2，
∴AB=

2

R=2

2

，
∴圆心到直线y=x+a的距离d=

1

2

AB=

2

，
又d=

|a|

2

=

2

，
∴|a|=2，又a＞0，
则a=2．
故答案为：2

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出△AOB为等腰直角三角形是解本题的关键．