Question

（2012•咸阳三模）已知抛物线x²=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点．
（1）求

OM

•

ON

的值；
（2）过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，试探求l₁与l₂的交点是否在定直线上，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设直线l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求

OM

•

ON

的值；
（2）求导数，可得切线方程，联立方程，即可得到l₁与l₂的交点在定直线y=-a上．

解答：解：（1）设直线l方程为y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+a x2=4y

消去y得x²-4kx-4a=0，所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a
∴y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ak(x1+x2)+a=-4ak²+4ak²+a=a
故

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=-4a+a2．…（6分）
（2）求导数，可得y′=

1

2

x，设l₁方程为y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，整理得y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

同理得l₂方程为y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

…（9分）
联立方程

y= 1 2 x1x- x 2 1 4 (1) y= 1 2 x2x- x 2 2 4 (2)

x₂×（1）-x₁×（2）得(x2-x1)y=

x1x2(x2-x1)

4

，∴y=

x1x2

4

=-a
故l₁与l₂的交点在定直线y=-a上．…（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查抛物线的切线，解题的关键是联立方程，确定切线的方程，属于中档题．