Question

【题目】如图，为椭圆的下顶点.过的直线交抛物线于，两点，是的中点.

（1）求证：点的纵坐标是定值；

（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于，两点.求的值，使得的面积最大.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可求，设，利用是的中点，求出的坐标，代入抛物线方程，可得的关系，再代入点的纵坐标即可得出结果；

（2）由题意可得，进而可以表示出直线的斜率和直线斜率，则可求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出的长和点到的距离，

从而可以求出，变形，利用基本不等式求其最值，通过等号的成立条件可求出的值.

（1）易知，不妨设，则，代入抛物线方程得：

，得：，∴为定值.

（2）∵点是中点，∴，

∵直线的斜率，直线斜率，

∴直线的方程：，即，不妨记，则：，

代入椭圆方程整理得：，设，，则

，，

，

到的距离，

所以.

取等号时，，得，

所以，.