题目内容

给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是.
(1)若椭圆C上一动点满足,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

(1)椭圆方程,伴随圆方程;(2);(3)存在,

解析试题分析:(1)这是基本题,题设实质已知,要求椭圆标准方程,已知圆心及半径求圆的方程;(2)为了求点坐标,我们可设直线方程为,直线与椭圆只有一个公共点,即直线的方程与椭圆的方程联立方程组,这个方程组只有一个解,消元后利用可得的一个方程,又直线截圆所得弦长为,又得一个关于的方程,联立可解得;(3)这是解析几何中的存在性问题,解决方法都是假设存在,然后去求出这个,能求出就说明存在,不能求出就说明不存在.解法如下,写出过点的直线方程,求出圆心到这条直线的距离为,可见当圆半径不小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为0,即当时,,但由于,无解,当圆半径小于3时,圆上的点到这条直线的最短距离为,由此得,又有,可解得,故存在.
试题解析:(1)由题意:,则,所以椭圆的方程为,  2分
其“伴随圆”的方程为.         4分
(2)设直线的方程为
       6分
则有, ①      7分
由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为,可得
,得 ②          8分
由①②得,又,故,所以点坐标为.   10分
(3)过的直线的方程为:
,得        12分
由于圆心到直线的距离为
,             14分
时,,但,所以,等式不能成立;
时,
所以
因为,所以
.所以           18分

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