设直线与双曲线交于A.B.且以AB为直径的圆过原点.求点的轨迹方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．

2y²－x²＝1(x²<3)．

解析试题分析：将直线与双曲线方程联立，消去y（或x），得到关于x的一元二次方程。由题意知方程有两根，故二次项系数不为0，且判别式大于0，解出a的范围，即所求轨迹方程的定义域。根据韦达定理得到两根之和，两根之积（整体计算比计算出两个根要简单）。根据且以AB为直径的圆过原点，可得直线AO和直线BO垂直，可利用斜率之积等于列式计算，但这种情况需对斜率存在与否进行讨论。为了省去讨论的麻烦可用向量问题来解决。详见解析。
试题解析：解：联立直线与双曲线方程得，消去y得：(a²－3)x²＋2abx＋b²＋1＝0.
∵直线与双曲线交于A、B两点，∴⇒a²<3.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)则x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
由⊥得x₁x₂＋y₁y₂＝0，又y₁·y₂＝(ax₁＋b)(ax₂＋b)＝a²x₁x₂＋ab(x₁＋x₂)＋b²，
∴有＋a²·－＋b²＝0.
化简得：a²－2b²＝－1.故P点(a，b)的轨迹方程为2y²－x²＝1(x²<3)．
考点：直接法求轨迹方程

练习册系列答案

相关题目

如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．

（1）求椭圆的方程；
（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．

已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.

给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

（13分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线的焦点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足＝，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。

已知椭圆：.

(1)椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.
①证明直线与轴交点的位置与无关；
②若∆面积是∆面积的5倍，求的值；
(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.

设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．

已知椭圆的左、右焦点分别是、,是椭圆右准线上的一点，线段的垂直平分线过点.又直线：按向量平移后的直线是，直线：按向量平移后的直线是 (其中)。
（1）求椭圆的离心率的取值范围。
（2）当离心率最小且时，求椭圆的方程。
（3）若直线与相交于（2）中所求得的椭圆内的一点，且与这个椭圆交于、两点，与这个椭圆交于、两点。求四边形ABCD面积的取值范围。