题目内容
17.关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x>0}\\{{2x}^{2}+(2k+5)x+5k<0}\end{array}\right.$的整数解的集合为{-2,-1},则实数k的取值范围为-3≤k<1.分析 首先分析题目已知不等式组的整数解集为{-2,-1},求k的取值范围,考虑到通过分解因式的方法化简方程组,然后分类讨论当k>$\frac{5}{2}$时,k=$\frac{5}{2}$时和当k<$\frac{5}{2}$时的情况解出不等式组含有参数k的解集,然后根据整数解集为{-2,-1},判断k的取值范围即可.
解答 解:关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x>0\\{2x}^{2}+(2k+5)x+5k<0\end{array}\right.$,变形为$\left\{\begin{array}{l}x(x-2)>0\\(x+k)(2x+5)<0\end{array}\right.$
当k>$\frac{5}{2}$时:
原不等式组变形为:$\left\{\begin{array}{l}x<0,或x>2\\-k<x<-\frac{5}{2}\end{array}\right.$,
故方程解为-k<x<-$\frac{5}{2}$,不满足整数解集为{-2,-1},故不成立.
当k=$\frac{5}{2}$时:原不等式组无解;
当k<$\frac{5}{2}$时:
原方程变形为 $\left\{\begin{array}{l}x<0,或x>2\\-\frac{5}{2}<x<-k\end{array}\right.$,
因为方程整数解集为{-2,-1},故-k>-1,且-k≤3.
故-3≤k<1,
故答案为:-3≤k<1
点评 此题主要考查一元二次不等式组的解集的问题,题中应用到分类讨论的思想,在解不等式中经常用到.题目涵盖知识点少但有一点的计算量,属于中档题目.
练习册系列答案
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