Question

【题目】在三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直线 上.

（1）求证： ；

（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】

（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1平面A1AB，AD平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．

（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴A1A⊥平面ABC，又BC平面ABC，

∴A1A⊥BC

∵AD⊥平面A1BC，且BC平面A1BC，

∴AD⊥BC．又AA1平面A1AB，

AD平面A1AB，A1A∩AD=A，

∴BC⊥平面A1AB，

又A1B平面A1BC，

∴BC⊥A1B；

（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．

∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，

∴AD⊥A1B．

在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，

= ，∠ABD=60°，

在Rt∠△ABA1中，AA=AB tan60=2

由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB平面A1AB，

从而BC⊥AB，=AB BC= 22=2．

∵P为AC的中点，=S =1

= =.