Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+2=0，有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$]
• D． （1，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+2=0有交点?圆心（2，0）到渐近线的距离≤半径r．解出即可．

解答 解：由圆x²+y²-4x+2=0化为（x-2）²+y²=2，得到圆心（2，0），半径r=$\sqrt{2}$．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线y=±$\frac{b}{a}$x与圆x²+y²-4x+2=0有交点，
∴$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，化为b²≤a²．
∴1＜e＜$\frac{c}{a}$≤$\sqrt{2}$．
∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．