Question

7．已知抛物线E：y²=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线l与抛物线E相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
（1）若x₁+x₂=8，求直线l的方程；
（2）设直线AF、BF分别交抛物线E于点C、D．
    （Ⅰ）记直线AD、BC的斜率分别为k₁、k₂，求k₁k₂的值；
    （Ⅱ）问△AFB与△CFD的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设过点M（2，0）的直线l为y=k（x-2），代入抛物线方程，运用韦达定理，可得斜率，即可得到直线方程；
（2）（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AF的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），代入抛物线方程，可得C的坐标，同理可得D的坐标，再由直线的斜率公式计算，即可得到所求值；
（Ⅱ）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，由抛物线的定义：到焦点的距离即为到准线的距离．运用三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}$absinC，计算即可得到定值．

解答 解：（1）设过点M（2，0）的直线l为y=k（x-2），
代入抛物线方程，可得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，
即有x₁+x₂=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$=8，解得k=±1，
则直线l的方程为y=±（x-2）；
（2）（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴AF的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），
设k₀=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$，则AF：y=k₀（x-1），
与抛物线方程联立，可得k₀²x²-（2k₀²+4）x+k₀²=0，
利用韦达定理x₃x₁=1，
∴x₃=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∴y₃=k₀（x₃-1）=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
即C（$\frac{1}{{x}_{1}}$，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
同理D（$\frac{1}{{x}_{2}}$，-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）
由k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，可得x₁x₂=4，y₁y₂=-8，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-\frac{1}{{x}_{2}}}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$，k₂=$\frac{{y}_{2}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}}{3}$，
即有k₁k₂=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}+{x}_{1}{{y}_{2}}^{2}+{x}_{2}{{y}_{1}}^{2}}{9}$
=$\frac{-32-8+4{x}_{1}{x}_{2}+4{x}_{1}{x}_{2}}{9}$=-$\frac{8}{9}$；
 （Ⅱ）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，
由抛物线的定义：到焦点的距离即为到准线的距离．
则$\frac{{S}_{△ABF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{\frac{1}{2}AF•BF•sin∠AFB}{\frac{1}{2}CF•DF•sin∠CFD}$=$\frac{AF•BF}{CF•DF}$=$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}{（\frac{1}{{x}_{1}}+1）（\frac{1}{{x}_{2}}+1）}$
=x₁x₂=4．
故△AFB与△CFD的面积之比为定值4．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．