题目内容
12.己知数列{an}满足a1=4,a n+1=3an-2.(])证明:数列{an-1}为等比数列,并求出an;
(2)设bn=kn•log3(an-1)(k为非零常数),求数列{bn}的前n项和Sn.
分析 (])通过对an+1=3an-2变形可知an+1-1=3(an-1),进而可知数列{an-1}是首项为3、公比为3的等比数列,计算即得结论;
(2)通过(1)可知bn=n•kn,分k是否为1两种情况讨论,当k=1时利用等差数列的求和公式计算即可,当k≠1时利用错位相减法计算即得结论.
解答 (])证明:∵an+1=3an-2,
∴an+1-1=3(an-1),
又∵a1-1=4-1=3,
∴数列{an-1}是首项为3、公比为3的等比数列,
∴an-1=3n,
∴an=1+3n;
(2)解:由(1)可知bn=kn•log3(an-1)=kn•log33n=n•kn,
∴Sn=1•k1+2•k2+…+n•kn,
当k=1时,Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$;
当k≠1时,kSn=1•k2+2•k3+…+(n-1)•kn+n•kn+1,
错位相减得:(1-k)Sn=k+k2+k3+…+kn-n•kn+1,
=$\frac{k(1-{k}^{n})}{1-k}$-n•kn+1,
∴Sn=$\frac{k(1-{k}^{n})}{(1-k)^{2}}$-$\frac{n}{1-k}$•kn+1;
综上所述,当k=1时Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$,当k≠1时Sn=$\frac{k(1-{k}^{n})}{(1-k)^{2}}$-$\frac{n}{1-k}$•kn+1.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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4.下列命题中是真命题的是( )
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C. | 直线y=ax+a过定点(-1,0) | D. | 在△ABC中,若sinB>0,则B为锐角 |