Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，非常数等比数列{b_n}的公比是q，且满足：a₁=2，b₁=1，S₂=3b₂，a₂=b₃．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=2b_n-λ•${3}^{\frac{{a}_{n}}{2}}$，若数列{c_n}是递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到；
（Ⅱ）化简c_n=2b_n-λ•${3}^{\frac{{a}_{n}}{2}}$=2ⁿ-3ⁿλ，由题意可得c_n+1＜c_n对n∈N^*恒成立，运用参数分离和数列的单调性，求得最大值，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则2+a₂=3q，且a₂=q²，
即有q²-3q+2=0，
解得q=2或1（舍去），
即有a₂=4，d=2，
则a_n=2n，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）c_n=2b_n-λ•${3}^{\frac{{a}_{n}}{2}}$=2ⁿ-3ⁿλ，
由题意可得c_n+1＜c_n对n∈N^*恒成立，
即有2ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹λ＜2ⁿ-3ⁿλ，
即2λ3ⁿ＞2ⁿ，即2λ＞（$\frac{2}{3}$）ⁿ对n∈N^*恒成立．
由f（n）=（$\frac{2}{3}$）ⁿ为递减数列，即有f（n）的最大值为f（1）=$\frac{2}{3}$，
则有2λ＞$\frac{2}{3}$，解得$λ＞\frac{1}{3}$．
故实数λ的取值范围为（$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，同时考查数列的单调性，注意转化为不等式的恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．