题目内容
如图；.已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
的最小值，并求此时圆T的方程;
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与
轴交于点R，S，O为坐标原点. 试问；是否存在使
最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由.
（1）
；（2）
；（3）存在
解析试题分析：（1）椭圆C:的离心率为
由椭圆的左顶点为
，所以
可得椭圆的标准方程；
（2）点M与点N关于轴对称，设
，
，再根据
的取值范围求出的范围.
（3）假设存在点
使取最大值，因为
=
利用点
分别是直线
与轴的交点，把表示成
的函数，进而求出其取最大值的值，确定点
的坐标.
试题解析：
解：（1）由题意知
解之得； 
，由
得b=1，
故椭圆C方程为；.3分
（2）点M与点N关于轴对称，设, 不妨 设
, 由于点M在椭圆C上，
,
由已知
,..6分由于
故当
时，取得最小值为
,
当时
，故
又点M在圆T上，代入圆的方程得
,故圆T的方程为：；..8分
（3）假设存在满足条件的点P,设
，则直线MP的方程为：
令
，得
，同理
,
故
;..10分
又点M与点P在椭圆上，故
,
得
,
为定值,.12分
=
=
=
,
由P为椭圆上的一点,要使
最大，只要
最大，而的最大值为1,故满足条件的P点存在其坐标为
．..14分
考点：1、椭圆的标准方程和圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的数量积.
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在双曲线
上，且双曲线的一条渐近线的方程是
．
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且斜率为
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与双曲线
两个不同点，若以线段
为直径的圆经过坐标原点，求实数
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、
，离心率为
，直线
：
与椭圆
两点，点
在
轴上的射影为点
．
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，点
在椭圆上．
在圆
上，且
在第一象限，过
,
两点，问：△
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，0），离心率
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.
·
的最小值，并求此时圆T的方程．
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＝m
＋n
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