Question

（本小题满分14分）
已知函数处取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.

Answer 1

(1) b=－2(2) c<－1或c>2.(3)运用函数的单调性，结合最大值与最小值差的绝对值满足不等式即可。

试题分析：解：（Ⅰ）∵f(x)=x³－x²+bx+c，∴f′(x)=3x²－x+b.         ……2分
∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=3－1+b=0
∴b=－2.             ……3分
经检验，符合题意.         ……4分
（Ⅱ）f(x)=x³－x²－2x+c.∵f′(x)=3x²－x－2=(3x+2)(x－1)，     …5分

x					1	(1,2)	2
f′(x)		+	0	－	0	+
f(x)

∴当x=－时，f(x)有极大值+c.
又
∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.     ……8分
∴c²>2+c.  ∴c<－1或c>2.      …………10分（Ⅲ）对任意的恒成立.
由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.又    …12分∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.
，故结论成立. ……14分
点评：解决该试题的关键是能结合导数的符号判定函数的单调性，让那后结合函数的极值得到最值，属于基础题。