题目内容
(本小题满分14分)
已知函数处取得极值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若当恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)对任意的是否恒成立?如果成立,给出证明,如果不成立,请说明理由.
已知函数处取得极值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若当恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)对任意的是否恒成立?如果成立,给出证明,如果不成立,请说明理由.
(1) b=-2(2) c<-1或c>2.(3)运用函数的单调性,结合最大值与最小值差的绝对值满足不等式即可。
试题分析:解:(Ⅰ)∵f(x)=x3-x2+bx+c,∴f′(x)=3x2-x+b. ……2分
∵f(x)在x=1处取得极值,∴f′(1)=3-1+b=0
∴b=-2. ……3分
经检验,符合题意. ……4分
(Ⅱ)f(x)=x3-x2-2x+c.∵f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), …5分
x | | | | | 1 | (1,2) | 2 |
f′(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | | | | | | | |
又
∴x∈[-1,2]时,f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分
∴c2>2+c. ∴c<-1或c>2. …………10分(Ⅲ)对任意的恒成立.
由(Ⅱ)可知,当x=1时,f(x)有极小值.又 …12分∴x∈[-1,2]时,f(x)最小值为.
,故结论成立. ……14分
点评:解决该试题的关键是能结合导数的符号判定函数的单调性,让那后结合函数的极值得到最值,属于基础题。
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